恒星までの距離を測る「年周視差（ねんしゅうしさ）」は、三角比の極致です。
地球が太陽の周りを公転することで、半年たつと地球の位置は約3億km移動します。この両端から遠くの星を見たときの「ズレの角度」を年周視差 $p$（単位は秒角）と呼びます。

星までの距離 $d$、太陽と地球の距離を $1\text{AU}$ とすると、直角三角形ができ、$\tan p = \frac{1\text{AU}}{d}$ となります。
ここで、星までの距離はあまりに遠く、角度 $p$ は極めて小さいため、数学の「微小角の近似（$\tan \theta \approx \theta$）」が成り立ちます。
その結果、距離 $d$（パーセク）と年周視差 $p$（秒角）の間には、$d = \frac{1}{p}$ という極めて美しい反比例の反比例の式が成り立ちます。

① 地震のマグニチュード（M）
地震のエネルギー $E$ とマグニチュード $M$ は、以下の対数方程式で結ばれています。
$$ \log_{10} E = 4.8 + 1.5 M $$ この式の右辺の「$1.5 M$」に注目してください。
Mが $1.0$ 増えると、$\log_{10} E$ の値は $1.5$ 増えます。対数を外すと、$E$ は $10^{1.5}$ 倍、つまり約31.6倍になります。
Mが $2.0$ 増えれば、$E$ は $10^{3.0}$ 倍、つまりぴったり1000倍になります。

② 星の等級（ポグソンの式）
星の明るさの「等級」も対数スケールです。古代ギリシャのヒッパルコスが定めた「1等星は6等星の100倍明るい」という基準を数式化したものです。等級が1小さくなると、明るさは $\sqrt[5]{100} \approx 2.512$ 倍になります。

問2（記述・発展）
「絶対等級」とは、恒星をすべて地球から $10\text{pc}（32.6光年）$ の距離に置いたと仮定したときの明るさ（等級）である。ある恒星の「見かけの等級」が $2.0$ 等であり、「絶対等級」が $-3.0$ 等であった。この恒星は、地球から $10\text{pc}$ よりも遠い場所にあるか、近い場所にあるか。その理由とともに60字以内で説明せよ。